Przykłady dotyczące równania Laplace’a i równania przewodnictwa cieplnego

Przykład 1:

Pokazać, że problem Cauchy'ego

\( u_t=u_{xx},\quad u(x,0)=g (x),\quad x\in\mathbb R,\hskip 0.3pc\,t>0, \)

w klasie funkcji \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) różniczkowalnych względem \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) i takich, że \( \hskip 0.3pc u(\cdot ,t)\in C^2(\mathbb R)\cap L^2(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t\in (0,+\infty )\hskip 0.3pc \), posiada co najwyżej jedno rozwiązanie.
Istotnie, przypuśćmy, że \( \hskip 0.3pc u_1,\hskip 0.3pc u_2\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami tego problemu. Oczywiście \( \hskip 0.3pc v= u_2-u_1\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu

\( v_t=v_{xx},\quad v(x,0)=0 \quad {\rm dla}\hskip 0.5pc x\in\mathbb R,\hskip 0.3pc\,t>0, \)

Połóżmy

\( \varphi (t)=\displaystyle\int_{\mathbb R}v^2(x,t)\,dx. \)

Po zróżniczkowaniu względem \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) i scałkowaniu przez części względem \( \hskip 0.3pc x,\hskip 0.3pc \) otrzymamy:

\( \begin{aligned} \varphi ^\prime(t)=&2\displaystyle\int_{\mathbb R}v(x,t)v_t(x,t)\,dx =2\displaystyle\int_{\mathbb R}v(x,t)v_{xx}(x,t)\,dx= \\=&2v(x,t)v_x(x,t)\Big|_{-\infty}^{\infty}-2\displaystyle\int_{\mathbb R}\big(v_x(x,t)\big)^2dx=-2\displaystyle\int_{\mathbb R}\big(v_x(x,t)\big)^2dx \leq 0.\end{aligned} \)

Zatem \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) jest funkcją malejącą, nieujemną i ponadto \( \hskip 0.3pc \varphi (0)=0\hskip 0.3pc \). Wynika stąd natychmiast, że \( \hskip 0.3pc \varphi =0,\hskip 0.3pc \) a w konsekwencji \( \hskip 0.3pc v=0,\hskip 0.3pc \) co kończy dowód.

Przykład 2:

Niech \( \hskip 0.3pc \Omega \subset\mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie obszarem jednospójnym o brzegu klasy \( \hskip 0.3pc C^1\hskip 0.3pc \).
Pokazać, że jeśli \( \hskip 0.3pc u \in C^2(\Omega )\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu

\( \Delta u =0\quad {\rm w}\hskip 0.3pc\,\Omega,\quad \dfrac{\partial u}{\partial \upsilon}=0\quad {\rm na}\hskip 0.3pc \,\partial \Omega, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \upsilon\hskip 0.3pc \) oznacza normalną do \( \hskip 0.3pc \partial \Omega,\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) musi być funkcją stałą.
Istotnie, korzystając z równości \( \hskip 0.3pc \Delta u=0\hskip 0.3pc \), wzoru 6 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena" oraz warunku brzegowego, otrzymamy

\( 0=\displaystyle\int_ {\Omega}u\Delta udx= \displaystyle\int_{\partial \Omega} u\dfrac{\partial u}{\partial \upsilon}dS-\displaystyle\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla u\,dx=-\displaystyle\int_{\Omega}|\nabla u|^2\,dx. \)

Zatem \( \hskip 0.3pc \nabla u=0\hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc \Omega,\hskip 0.3pc \) skąd wynika, że \( \hskip 0.3pc u=const\hskip 0.3pc \).

Przykład 3:

Niech \( \hskip 0.3pc \Omega\subset\mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie obszarem o brzegu klasy \( \hskip 0.3pc C^1\hskip 0.3pc \). Pokazać, że problem

\( \Delta u-cu=f \quad {\rm w}\hskip 0.3pc\,\Omega,\qquad u=g \quad {\rm na}\hskip 0.3pc\,\partial \Omega\qquad (c>0), \)

posiada co najwyżej jedno rozwiązanie.
Istotnie, przypuśćmy, że \( \hskip 0.3pc u_1,\hskip 0.3pc \) \( u_2\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami tego problemu. Wówczas funkcja \( \hskip 0.3pc v=u_2-u_1\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu

\( \Delta v-cv=0\quad {\rm w}\hskip 0.3pc\,\Omega, \qquad v=0\quad {\rm na}\hskip 0.3pc\,\partial \Omega. \)

Korzystając z równości \( \hskip 0.3pc \Delta v-cv=0\hskip 0.3pc \) oraz wzoru 6 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena" otrzymamy

\( \begin{aligned}0=&\displaystyle\int_{\Omega}v(\Delta v-cv)dx=\displaystyle\int_{\Omega}v\Delta v-c \displaystyle\int_{\Omega}v^2dx= \displaystyle\int_{\partial\Omega}v\dfrac{\partial v}{\partial\upsilon}dS-\\&\displaystyle\int_{\Omega}\nabla v\cdot\nabla v \,dx-c \displaystyle\int_{\Omega}v^2dx=-\displaystyle\int_{\Omega}|\nabla v|^2dx -c\displaystyle\int_{\Omega}v^2dx.\end{aligned} \)

Zatem

\( \displaystyle\int_{\Omega}v^2dx=0 \)

i w konsekwencji \( \hskip 0.3pc v=0\hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \), co oznacza, że \( \hskip 0.3pc u_1=u_2.\hskip 0.3pc \)

W następnych przykładach rozwiniemy pomysły które wykorzystaliśmy dla znalezienia rozwiązań fundamentalnych dla równania Laplace'a oraz równania przewodnictwa cieplnego. W pierwszym przypadku szukaliśmy rozwiązań radialnych, w drugim rozwiązań wzdłuż specjalnie dobranych krzywych (powierzchni). Idea metody polega na redukcji ilości zmiennych niezależnych, a w sytuacji optymalnej, na sprowadzeniu problemu do rozwiązania równania zwyczajnego.

Przykład 4:

Wyznaczyć rozwiązanie radialne tzw. zmodyfikowanego równania Laplace'a

\( \nabla\big(\|x\|\nabla u(x)\big)=0,\qquad x\in\mathbb R^n. \)

Istotnie, kładąc \( \hskip 0.3pc u(x)=v(r)\hskip 0.3pc \), gdzie \( \hskip 0.3pc r=\|x\|=\sqrt{x_1^2+\ldots +x_n^2},\hskip 0.3pc \) równanie wyjściowe możemy zapisać w postaci

\( \nabla\big(r\nabla v(r)\big)=0. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc \nabla v(r)=v^\prime(r)\dfrac xr,\hskip 0.3pc \) zatem \( \hskip 0.3pc r\nabla v(r)=v^\prime(r)x.\hskip 0.3pc \) W konsekwencji

\( \nabla\big(r\nabla v(r)\big)= \nabla\big(v^\prime(r)x\big)= x\nabla v^\prime(r)+v^\prime(r)\nabla x=rv^ {\prime\prime} +nv^\prime. \)

W celu wyznaczenia funkcji \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) należy rozwiązać równanie

\( rv^{\prime\prime}+nv^\prime=0, \)

co daje

\( v=\dfrac{A}{(1-n)r^{n-1}}\,+\,B. \)

Zatem

\( u(x)=\dfrac{A}{(1-n)\|x\|^{n-1}}\,+\,B. \)

Jeśli dodatkowo zażądamy aby \( \hskip 0.3pc \displaystyle\lim_{r\to \infty}v(r)=0,\hskip 0.3pc \) wówczas \( \hskip 0.3pc B=0\hskip 0.3pc \), a rozwiązanie przyjmuje postać

\( u(x)=\dfrac C{\|x\|^{n-1}}, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc C=\dfrac A{1-n}.\hskip 0.3pc \)

Przykład 5:

Rozważmy równanie

\( u_t=au_{xx}+\dfrac 1t u,\qquad x\in \mathbb R,\hskip 0.3pc\,t>0. \)

Przechodząc do nowych zmiennych niezależnych \( \hskip 0.3pc (y,\tau )\hskip 0.3pc \) danych wzorami

\( y=x \lambda ^{\alpha },\quad \tau =t\lambda ^{\beta }, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \) jest parametrem, równanie wyjściowe przyjmie postać

\( \lambda ^{\beta }w_{\tau }=a\lambda^{2\alpha }w_{yy}+\dfrac 1{\tau }\lambda ^{\beta }w, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc w(y,\tau )= u(y\lambda ^{-\alpha },\tau \lambda ^{-\beta }).\hskip 0.3pc \) Jeśli \( \hskip 0.3pc \beta =2\alpha, \hskip 0.3pc \) z ostatniego równania możemy wyrugować parametr \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \) i otrzymamy równanie

\( w_{\tau }=aw_{yy}+\dfrac 1{\tau }w, \)

czyli równanie wyjściowe. Oznacza to, że wzdłuż krzywej \( \hskip 0.3pc \{(x\lambda ^{-\alpha },t \lambda ^{-2\alpha }):\lambda \in \mathbb R\}\hskip 0.3pc \) rozwiązanie jest stałe (nie zależy od parametru \( \hskip 0.3pc \lambda. \hskip 0.3pc \)) Obserwacja ta sugeruje, że należy szukać rozwiązania równania wyjściowego postaci

\( u(x,t)=v\big(\tfrac x{\sqrt t}\big). \)

Przyjmując powyższe podstawienie i kładąc \( \hskip 0.3pc z=\dfrac {x}{\sqrt t},\hskip 0.3pc \) równanie wyjściowe zredukujemy do równania różniczkowego zwyczajnego

\( 2av^{\prime\prime}+zv^\prime+2v=0 \qquad (v=v(z)). \)

Oczywiście każde rozwiązanie tego równania generuje rozwiązanie równania wyjściowego.

Przykład 6:

Rozważmy równanie

\( u_t=au_{xx}+buu_x+\dfrac 1t u,\qquad x\in \mathbb R,\hskip 0.3pc\,t>0. \)

Podobnie jak w przykładzie poprzednim chcemy zredukowć powyższe równanie o dwóch zmiennych niezależnych \( \hskip 0.3pc (x,t)\hskip 0.3pc \) do równania o jednej zmiennej. W tym celu rozważmy przekształcenie

\( u=\lambda w,\quad x=\lambda ^{\alpha}y,\quad t=\lambda ^{\beta}\tau , \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \) jest parametrem. Stosując to przekształcenie do równania wyjściowego otrzymamy

\( \lambda ^{1-\beta}w_{\tau}=a\lambda^{1-2\alpha}w_{yy}+b\lambda ^{2-\alpha}ww_y+\lambda ^{1-\beta}\dfrac w{\tau}. \)

Jeśli \( \hskip 0.3pc 1-\beta =1-2\alpha =2-\alpha,\hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc \alpha=-1,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \beta =-2,\hskip 0.3pc \) z ostatniego równania możemy wyeliminować parametr \( \hskip 0.3pc \lambda, \hskip 0.3pc \) a równanie przyjmie postać

\( w_{\tau}=aw_{yy}+bww_y+\dfrac 1{\tau} u,\qquad y\in \mathbb R,\hskip 0.3pc\,\tau>0. \)

Oznacza to, że przekształcenie \( \hskip 0.3pc u=\lambda w,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc x=\lambda ^{-1}y,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t=\lambda^{-2}\tau,\hskip 0.3pc \) przeprowadza równanie wyjściowe w siebie. Z równań \( \hskip 0.3pc y=\lambda x,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \tau = \lambda^2t\hskip 0.3pc \) otrzymamy \( \hskip 0.3pc \lambda = \dfrac xt\,\dfrac{\tau}y.\hskip 0.3pc \) Podstawiając tę wielkość do równania \( \hskip 0.3pc u=\lambda w\hskip 0.3pc \) otrzymamy równość

\( \dfrac txu=\dfrac{\tau}yw, \)

która mówi, że wzdłuż krzywej \( \hskip 0.3pc \{(\lambda x,\lambda ^2t):\lambda \in \mathbb R\}\hskip 0.3pc \) wielkość \( \hskip 0.3pc \dfrac txu\hskip 0.3pc \) jest stała. Obserwacja ta sugeruje poszukiwanie rozwiązania równania wyjściowego w postaci

\( u(x,t)=\dfrac xtv\big(\dfrac x{\sqrt t}\big). \)

Kładąc \( \hskip 0.3pc z=x/\sqrt t\hskip 0.3pc \) i przyjmując powyższe podstawienie równanie wyjściowe zredukujemy do równania różniczkowego zwyczajnego

\( av^{\prime\prime}+(1+bzv)v^\prime+(2+\dfrac{2u}z+bv)v=0, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc v=v(z)\hskip 0.3pc \). Oczywiście każde rozwiązanie tego równania generuje rozwiązanie równania wyjściowego.

Temat:
Opis:
Typ:

Email: